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Abstrait

Sur la relation entre les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux nombres rationnels et aux nombres harmoniques généralisés

Paweł J. Szabowski

En utilisant la transformation d'Euler des séries, nous relions les valeurs de la fonction zêta de Hurwitz (s; t) aux valeurs entières et rationnelles des arguments à certaines séries à convergence rapide, où apparaissent certains nombres harmoniques généralisés. La plupart des résultats de l'article peuvent être dérivés des résultats récents, plus avancés, sur les propriétés des fonctions zêta d'Arakawa-Kaneko. Nous dérivons nos résultats directement, en résolvant des récursions simples. La forme des nombres harmoniques généralisés mentionnés ci-dessus porte des informations sur les valeurs des arguments de la fonction de Hurwitz. En particulier, nous prouvons : 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; où H (k) n sont définis ci-dessous les nombres harmoniques généralisés, ou que K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ; où K désigne la constante de Calatan et Hn désigne le n-ième nombre harmonique (ordinaire). De plus, nous montrons que la fonction génératrice des nombres ^ (k) = P1 j=1(1)j1=jk , k 2 N et ^ (0) = 1=2 est égale à B(1=2; 1 y; 1 + y) où B(x; a; b) désigne un bêta incomplet