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Abstrait

Processus de Lévy, martingales, martingales inversées et polynômes orthogonaux

Paweł J. Szabowski

Nous étudions une classe de processus de Lévy dont les distributions sont indentifiables par des moments. Nous définissons un système de martingales polynomiales fMn(Xt ; t); F tgn 1 ; où F t est une Öltration appropriée définie ci-dessous. Nous présentons plusieurs propriétés de ces martingales. Entre autres, nous montrons que M1(Xt ; t)=t est une martingale inversée ainsi qu'un harnais. Les principaux résultats de l'article concernent la question de savoir si la martingale, disons Mi multipliée par une fonction déterministe appropriée i (t), est une martingale inversée. Nous montrons que pour n 3 Mn(Xt ; t) est une martingale inversée (ou polynôme orthogonal) seulement lorsque le processus de Lévy en question est gaussien (c'est-à-dire un processus de Wiener). Nous étudions également une question plus générale de savoir s'il existe des chances pour une combinaison linéaire (avec des coefficients dépendant de t) de martingales Mi ; i = 1; : : : ; n doit être une martingale inversée. Nous analysons le cas n = 2 en détail en énumérant tous les cas possibles.