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Abstrait

Résultats importants sur les applications log-harmoniques de type étoile de Janowski d'ordre complexe b

Mélike AYDOGAN

Soit H(D) un espace linéaire de toutes les fonctions analytiques définies sur le disque unité ouvert D. Une fonction log-harmonique préservant le sens est la solution de l'équation aux dérivées partielles elliptique non linéaire fz = wff fz, où w(z) est analytique, satisfait la condition |w(z)| < 1 pour tout z ∈ D et est appelée la seconde dilatation de f. Il a été montré que si f est une application log-harmonique non nulle alors f peut être représentée par f(z) = h(z)g(z), où h(z) et g(z) sont analytiques dans D avec h(0) 6= 0, g(0) = 1([1]). Si f s'annule en z = 0 mais n'est pas identiquement nulle, alors f admet la représentation f(z) = z |z| 2β h(z)g(z), où Reβ > − 1 2 , h(z) et g(z) sont analytiques dans D avec g(0) = 1 et h(0) 6= 0. La classe des applications log-harmoniques préservant le sens est notée SLH. On dit que f est une application log-harmonique de type étoile de Janowski. Si 1 + 1 b zfz − zfz f − 1 = 1 + Aφ(z) 1 + Bφ(z) où φ(z) est une fonction de Schwarz. La classe des applications logharmoniques de type étoile de Janowski est notée S ∗ LH(A, B, b). On note aussi que, si (zh(z)) est une fonction de type étoile, alors les applications log-harmoniques de type étoile de Janowski seront appelées applications log-harmoniques de type étoile de Janowski perturbées. Et la famille de telles applications sera notée S ∗ P LH(A, B, b). Le but de cet article est de donner quelques théorèmes de distorsion de la classe S ∗ LH(A, B, b).